[제어공학]#3 라플라스변환

라플라스변환 목적

제어요소가 단일시스템이 아닌 경우엔 미분방정식으로 입출력관계를 표현하는데 한계가 있다.

그러므로 라플라스 변환을 사용하여 복잡한 제어시스템도 비제차 선형 미분방정식을 푼다. 

 

 

정의

$F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$

(Latex문법으로 이거 치는데만 1시간 걸렸다. )

 

 

조건

라플라스 변환을 하려면 조건이있다. 

$\lim\limits_{t \to \infty}f(t)e^{-st}=0$

을 만족해야 한다. 

 

 

 

일일이 라플라스 함수에 $e^{-st}$을 곱하고 적분하기 귀찮지않는가.

그렇기 때문에 아래 표를 외우는 것을 추천한다.

 

기본 함수에 대한 라플라스 변환표

$f(t)$	$F(s)$	$f(t)$	$F(s)$
$c$	$c/s$	$e^{-at}$	$1/{s+a}$
$t$	$1/{s^2}$	$sinwt$	$w/{s^2+w^2}$
$t^{2}$	$2/{s^3}$	$coswt$	$s/{s^2+w^2}$
$t^{n}$	$n!/{s^{n+1}}$

 

 

라플라스의 역변환

반대로 F(s)로부터 f(t)를 구하는것을 라플라스의 역변환이라고 한다. 

 

 

 

라플라스 변환의 중요한 정리 6가지

1) 제1이동정리

2) 도함수의 변환

3) 적분의 변환

4) 제2이동정리

5) 초깃값 정리와 최종값 정리

6) 합성곱 정리

디테일한 내용들은 나중에 정리하겠다.